La propuesta de esta entrada es que puedas encontrar material de consulta y actividades en un sólo lugar
La enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos.PDF para leer y descargar
Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los dos ciclos.PDF para leer o descargar
Juego para uno o dos jugadores "La oca de multiplicar"
Juego para un jugador donde: en un tablero con números se debe elegir los que multiplicados entre sí del el resultado que se solicita
Actividades para trabajar con la tabla pitagóricaPara leer online
Tres docentes, tres realidades: un informe con experiencias docentes en torno a la multiplicaciónPDF para leer o descargar
Imágenes para matematizar (propuestas originales de problemas multiplicativos a partir de fotografías)PDF para leer o descargar
El gato, un juego de multiplicación
Tres en línea pero con multiplicaciones del 5 al 9
Ábaco neperiano
Ábaco inventado por John Napier para el cálculo de productos y cocientes de números. También llamado ábaco rabdológico (del griego ραβδoς, varilla y λóγoς, tratado).
Napier publicó su invención de las varillas en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologia. Por este método, los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas; al igual que con las tablas de logaritmos, inventadas por él mismo se transforman las potencias en productos y las raíces en divisiones.
El ábaco consta de un tablero con reborde en el que se colocarán las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicación o división. El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los números 1 a 9.
Las varillas neperianas son tiras de madera, metal o cartón grueso. La cara anterior está dividida en 9 cuadrados, salvo el superior, divididos en dos mitades por un trazo diagonal.
En la primera casilla de cada varilla se escribe el número, rellenando las siguientes con el duplo, triplo, cuádruplo y así sucesivamente hasta el nónuplo del número al que corresponda la varilla.
Los dígitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10, se escriben en la casilla inferior, escribiendo en la superior un cero.
Un juego consta de 9 varillas correspondientes a los dígitos 1 a 9. En la figura se ha representado además la varilla 0, que realmente no es necesaria para los cálculos.
Napier publicó su invención de las varillas en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologia. Por este método, los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas; al igual que con las tablas de logaritmos, inventadas por él mismo se transforman las potencias en productos y las raíces en divisiones.
El ábaco consta de un tablero con reborde en el que se colocarán las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicación o división. El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los números 1 a 9.
Las varillas neperianas son tiras de madera, metal o cartón grueso. La cara anterior está dividida en 9 cuadrados, salvo el superior, divididos en dos mitades por un trazo diagonal.
En la primera casilla de cada varilla se escribe el número, rellenando las siguientes con el duplo, triplo, cuádruplo y así sucesivamente hasta el nónuplo del número al que corresponda la varilla.
Los dígitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10, se escriben en la casilla inferior, escribiendo en la superior un cero.
Un juego consta de 9 varillas correspondientes a los dígitos 1 a 9. En la figura se ha representado además la varilla 0, que realmente no es necesaria para los cálculos.
La fábrica de los ceros: multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros con control de aciertos
El genio de Paenza explica un método geométrico de multiplicación Tuti Fruti pero de númerosSe trata de un juego donde los chicos tienen que buscar diferentes cálculos que den como resultado un número en particular.
DESTINATARIOS: Adaptable para cualquier nivel
Materiales necesarios: Para cada jugador, una tabla para completar con 6 columnas y filas. Se usa una fila por mano.
Desarrollo: Por turno, un jugador elige un número y todos los jugadores lo escriben en la primera columna. Cada jugador trata de completar toda la fila con cálculos que den por resultado ese número. El primero que termina dice “basta” y el resto de los integrantes tiene que interrumpir su tarea.
El puntaje se asigna del siguiente modo:
• Si el resultado de una cuenta no es el número cantado, vale 0 puntos.
• Si una cuenta fue propuesta por dos o más jugadores, vale 5 puntos.
• Si una cuenta no es repetida, vale 10 puntos.
Gana el jugador que, al cabo de 8 vueltas (o las que se decida jugar), obtenga el mayor puntaje.
Sugerencia para alumnos de primer ciclo:
Los nenes proponen cálculos de suma y resta, de dos o más números.
Por ejemplo:
Nº elegido puntaje
30 20 + 10 32-2 43-13 10+10+10
99 90+9 100-1 109-9 80+10+9
La multiplicación de los campesinos rusos
El sistema de multiplicación que todos aprendimos en el colegio es el más habitual en todo el mundo desde que se extendió la numeración arábiga (el sistema decimal que usamos en la actualidad), sin embargo hay otros muchos métodos para obtener el resultado de la multiplicación.
Uno de los más conocidos es el llamado método de los campesinos rusos (o simplemente, de los campesinos), un sistema que podemos definir como “lento pero seguro”. Los únicos conocimientos requeridos son saber sumar, así como dividir y multiplicar por dos, sin saberse ninguna otra tabla de multiplicación.
Comenzamos escribiendo los dos multiplicandos al principio de sendas columnas. En la de la izquierda, iremos duplicando progresivamente el valor del número obtenido, y en la de la derecha iremos dividiendo por dos, redondeando a la baja cuando sea necesario.
Cuando en la columna de la derecha lleguemos al uno, detenemos el proceso. Entonces nos deshacemos de todas las filas para las cuales el número de la derecha sea par. Después sumamos todas las filas restantes de la columna izquierda, y obtenemos el resultado.
Lo ilustraremos con un ejemplo, 105×68 (las medidas estándar de un campo de fútbol). Comenzamos haciendo las columnas, da igual qué número pongamos a cada lado:
105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1
Ahora tachamos todas las filas en las cuales el número de la derecha es par:
105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1
Sumamos los valores restantes de la columna de la izquierda: 420 + 6720 = 7140, que es exactamente el valor de 105×68, es decir, el área en metros cuadrados de un campo de fútbol estándar.
Desde luego, no es el método más efectivo para hacer una multiplicación, pero es una buena demostración de que en matemáticas siempre hay más de un camino.
En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.
¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).
Ahora pasamos a la segunda fila. A la derecha, hemos dividido todo por 2. Sigamos con nuestro ejemplo: si 68 = 2^6 + 2^2, al dividir por dos tenemos 34 = 2^5 + 2. Ahora llega el paso clave: si el sumando 2^0 = 1 apareciese al descomponer el número de la segunda fila, equivaldría a que el sumando 2^1 = 2 apareciese en la primera fila (donde tenemos el número original).
En nuestro ejemplo, 34 vuelve a ser par. Esto quiere decir que 2^0 no aparece al descomponer 34 en potencias de dos. Si multiplicamos por dos, equivale a decir que 2^1 no aparece al descomponer 68 (nuestro número original) en potencias de dos.
¿Seguís el hilo? bien, pasemos a la tercera fila. En este caso tenemos 17 = 2^4 + 2^0. Si deshacemos el camino andado y multiplicamos por 4, tenemos que 68 = 2^6 + 2^2. Es decir, como el sumando 1 aparece al descomponer 17, esto equivale a que el sumando 4 aparezca al descomponer 68 = 17×4.
A la hora de dividir por dos nuevamente, como ya hemos contado la influencia del sumando 1, lo restamos: 17 – 1 = 16, 16 / 2 = 8. Por eso se redondea a la baja. 8 vuelve a ser par, tachamos la fila. En la siguiente iteración, 4 es par, tachamos la fila. Una vez más, 2 es par, tachamos la fila. Al final del todo, en la sexta iteración, obtenemos 1, que es impar, lo cual quiere decir que en nuestro número original aparecerá 2^6 en su descomposición.
Ya hemos acabado con la columna de la derecha. En ella, hemos visto como 68 se descompone en 2^6 + 2^2, y por tanto nuestra multiplicación original se descompone de la siguiente forma: 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4 = 105×(2^6) + 105×(2^2).
¿Y qué hemos hecho en la columna de la izquierda? Pues precisamente ir multiplicando nuestro número original (105) sucesivamente por 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, etc. De modo que al final, cuando hemos descartado las filas que no nos interesan, precisamente nos ha quedado 105×(2^2) y 105×(2^6). Haciendo la suma, obtenemos el valor de la multiplicación original 105×68.
Demostración genérica
Para los que quieren una demostración matemática estricta, usaremos el principio de inducción (si no sabes lo que es, puedes dejar de leer aquí ;)). Denotemos A×B el producto de dos números naturales A y B usando el algoritmo habitual (la multiplicación de toda la vida con todas sus propiedades asociadas), y A*B el producto de dos números A y B usando el método de los campesinos rusos (sobre el cual a priori conocemos su ‘mecanismo’, pero no sus propiedades). Para B = 1, comprobamos que se cumple A×B = A*B, independientemente de cual sea el número A. Vamos a aplicar el principio de inducción sobre la variable B.
Supongamos la hipótesis de que para un B natural cualquiera se cumple 2A×[B/2] = 2A*[B/2]. ([n] denota la parte entera redondeando a la baja). Entonces, aplicando el algoritmo de los campesinos rusos, tenemos que
A*B = 2A*[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es impar (!!).
Por otro lado, por las propias características de la multiplicación habitual, es inmediato que
A×B = 2A×[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es par.
Como hemos supuesto 2A×[B/2] = 2A*[B/2], podemos extender nuestra hipótesis a que A×B = A*B.
Veamos ahora que si nuestra hipótesis es cierta para B, también lo es para B+1:
A*(B+1) = 2A*[(B+1)/2] + x, siendo x = A si B+1 es impar (es decir, si B es par) y x = 0 si B+1 es par (es decir, si B es impar).
Y aquí hemos hecho una pirueta muy interesante, atención: si B es par, resulta que al hacer A*B tenemos que x = 0, de modo que A*B = 2A*[B/2]. Ahora, al hacer A*(B+1) tenemos que x = A… ¡pero [(B+1)/2] = [B/2]! (ya que estamos redondeando a la baja). Es decir, que
A*(B+1) = A*B + A.
Por otro lado,
A×(B+1) = A×B + A.
Aquí no tenemos que demostrar nada ya que en la multiplicación tradicional damos por sentada la propiedad distributiva. Como en un principio hicimos la hipótesis A×B = A*B, resulta que
A*(B+1) = A*B + A = A×B + A = A×(B+1).
Aplicando el principio de inducción, hemos demostrado que para cualquier número natural par B, A×B = A*B, es decir, el algoritmo ruso es totalmente equivalente al tradicional. Para los B impares, la demostración es totalmente análoga, a partir de la ‘pirueta’ simplemente hay que considerar B impar y los resultados salen igual. Os lo dejo como ejercicio ;)
Y como no hemos impuesto restricciones sobre A, queda demostrado que para cualquier pareja de números naturales, el algoritmo de los campesinos rusos (al que hemos denotado como A*B) es totalmente equivalente a la operación tradicional de multiplicación, denotada por A×B.
Actualización: me acabo de dar cuenta de que la igualdad marcada con (!!) no es ni mucho menos inmediata y también requiere una explicación, ¿alguien se anima?. Recordad que el asterisco (*) no denota el producto habitual, sino el producto dado por el algoritmo de los campesinos rusos, de la que a priori no sabemos sus propiedades (precisamente el objetivo de la demostración es probar que en realidad la operación que hemos denotado como (*) equivale al producto de toda la vida).
El sistema de multiplicación que todos aprendimos en el colegio es el más habitual en todo el mundo desde que se extendió la numeración arábiga (el sistema decimal que usamos en la actualidad), sin embargo hay otros muchos métodos para obtener el resultado de la multiplicación.
Uno de los más conocidos es el llamado método de los campesinos rusos (o simplemente, de los campesinos), un sistema que podemos definir como “lento pero seguro”. Los únicos conocimientos requeridos son saber sumar, así como dividir y multiplicar por dos, sin saberse ninguna otra tabla de multiplicación.
Comenzamos escribiendo los dos multiplicandos al principio de sendas columnas. En la de la izquierda, iremos duplicando progresivamente el valor del número obtenido, y en la de la derecha iremos dividiendo por dos, redondeando a la baja cuando sea necesario.
Cuando en la columna de la derecha lleguemos al uno, detenemos el proceso. Entonces nos deshacemos de todas las filas para las cuales el número de la derecha sea par. Después sumamos todas las filas restantes de la columna izquierda, y obtenemos el resultado.
Lo ilustraremos con un ejemplo, 105×68 (las medidas estándar de un campo de fútbol). Comenzamos haciendo las columnas, da igual qué número pongamos a cada lado:
105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1
Ahora tachamos todas las filas en las cuales el número de la derecha es par:
105 | 68
210 | 34
420 | 17
840 | 8
1680 | 4
3360 | 2
6720 | 1
Sumamos los valores restantes de la columna de la izquierda: 420 + 6720 = 7140, que es exactamente el valor de 105×68, es decir, el área en metros cuadrados de un campo de fútbol estándar.
Desde luego, no es el método más efectivo para hacer una multiplicación, pero es una buena demostración de que en matemáticas siempre hay más de un camino.
En realidad, lo que estamos haciendo es descomponer el número de la derecha en potencias de dos. En el ejemplo de ayer, teníamos 105×68. Si descomponemos 68 en potencias de dos, tenemos que 68 = 64 + 4 = 2^6 + 2^2. Como la multiplicación es distributiva, está claro que 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4.
¿Cómo se conecta esto con el algoritmo? Comencemos por la columna de la derecha. En la primera fila, si el número de la derecha es par, quiere decir que a la hora de descomponerlo en potencias de dos, no aparecerá 2^0 = 1, por eso lo tachamos. (En caso de que el número de la derecha fuese impar, sí que aparecería el 1 en su descomposición. Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2^2 + 2^0).
Ahora pasamos a la segunda fila. A la derecha, hemos dividido todo por 2. Sigamos con nuestro ejemplo: si 68 = 2^6 + 2^2, al dividir por dos tenemos 34 = 2^5 + 2. Ahora llega el paso clave: si el sumando 2^0 = 1 apareciese al descomponer el número de la segunda fila, equivaldría a que el sumando 2^1 = 2 apareciese en la primera fila (donde tenemos el número original).
En nuestro ejemplo, 34 vuelve a ser par. Esto quiere decir que 2^0 no aparece al descomponer 34 en potencias de dos. Si multiplicamos por dos, equivale a decir que 2^1 no aparece al descomponer 68 (nuestro número original) en potencias de dos.
¿Seguís el hilo? bien, pasemos a la tercera fila. En este caso tenemos 17 = 2^4 + 2^0. Si deshacemos el camino andado y multiplicamos por 4, tenemos que 68 = 2^6 + 2^2. Es decir, como el sumando 1 aparece al descomponer 17, esto equivale a que el sumando 4 aparezca al descomponer 68 = 17×4.
A la hora de dividir por dos nuevamente, como ya hemos contado la influencia del sumando 1, lo restamos: 17 – 1 = 16, 16 / 2 = 8. Por eso se redondea a la baja. 8 vuelve a ser par, tachamos la fila. En la siguiente iteración, 4 es par, tachamos la fila. Una vez más, 2 es par, tachamos la fila. Al final del todo, en la sexta iteración, obtenemos 1, que es impar, lo cual quiere decir que en nuestro número original aparecerá 2^6 en su descomposición.
Ya hemos acabado con la columna de la derecha. En ella, hemos visto como 68 se descompone en 2^6 + 2^2, y por tanto nuestra multiplicación original se descompone de la siguiente forma: 105×68 = 105×(64+4) = 105×64 + 105×4 = 105×(2^6) + 105×(2^2).
¿Y qué hemos hecho en la columna de la izquierda? Pues precisamente ir multiplicando nuestro número original (105) sucesivamente por 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, etc. De modo que al final, cuando hemos descartado las filas que no nos interesan, precisamente nos ha quedado 105×(2^2) y 105×(2^6). Haciendo la suma, obtenemos el valor de la multiplicación original 105×68.
Demostración genérica
Para los que quieren una demostración matemática estricta, usaremos el principio de inducción (si no sabes lo que es, puedes dejar de leer aquí ;)). Denotemos A×B el producto de dos números naturales A y B usando el algoritmo habitual (la multiplicación de toda la vida con todas sus propiedades asociadas), y A*B el producto de dos números A y B usando el método de los campesinos rusos (sobre el cual a priori conocemos su ‘mecanismo’, pero no sus propiedades). Para B = 1, comprobamos que se cumple A×B = A*B, independientemente de cual sea el número A. Vamos a aplicar el principio de inducción sobre la variable B.
Supongamos la hipótesis de que para un B natural cualquiera se cumple 2A×[B/2] = 2A*[B/2]. ([n] denota la parte entera redondeando a la baja). Entonces, aplicando el algoritmo de los campesinos rusos, tenemos que
A*B = 2A*[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es impar (!!).
Por otro lado, por las propias características de la multiplicación habitual, es inmediato que
A×B = 2A×[B/2] + x, siendo x = A si B es impar, x = 0 si B es par.
Como hemos supuesto 2A×[B/2] = 2A*[B/2], podemos extender nuestra hipótesis a que A×B = A*B.
Veamos ahora que si nuestra hipótesis es cierta para B, también lo es para B+1:
A*(B+1) = 2A*[(B+1)/2] + x, siendo x = A si B+1 es impar (es decir, si B es par) y x = 0 si B+1 es par (es decir, si B es impar).
Y aquí hemos hecho una pirueta muy interesante, atención: si B es par, resulta que al hacer A*B tenemos que x = 0, de modo que A*B = 2A*[B/2]. Ahora, al hacer A*(B+1) tenemos que x = A… ¡pero [(B+1)/2] = [B/2]! (ya que estamos redondeando a la baja). Es decir, que
A*(B+1) = A*B + A.
Por otro lado,
A×(B+1) = A×B + A.
Aquí no tenemos que demostrar nada ya que en la multiplicación tradicional damos por sentada la propiedad distributiva. Como en un principio hicimos la hipótesis A×B = A*B, resulta que
A*(B+1) = A*B + A = A×B + A = A×(B+1).
Aplicando el principio de inducción, hemos demostrado que para cualquier número natural par B, A×B = A*B, es decir, el algoritmo ruso es totalmente equivalente al tradicional. Para los B impares, la demostración es totalmente análoga, a partir de la ‘pirueta’ simplemente hay que considerar B impar y los resultados salen igual. Os lo dejo como ejercicio ;)
Y como no hemos impuesto restricciones sobre A, queda demostrado que para cualquier pareja de números naturales, el algoritmo de los campesinos rusos (al que hemos denotado como A*B) es totalmente equivalente a la operación tradicional de multiplicación, denotada por A×B.
Actualización: me acabo de dar cuenta de que la igualdad marcada con (!!) no es ni mucho menos inmediata y también requiere una explicación, ¿alguien se anima?. Recordad que el asterisco (*) no denota el producto habitual, sino el producto dado por el algoritmo de los campesinos rusos, de la que a priori no sabemos sus propiedades (precisamente el objetivo de la demostración es probar que en realidad la operación que hemos denotado como (*) equivale al producto de toda la vida).
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